1.简述众数、中位数和平均数的特点及联系。important
答：（1）众数、中位数和平均数的特点：
① 众数
众数是一组数据中出现次数最多的变量值。众数是一组数据分布的峰值，不受极端值的影响。众数具有不唯一性，一组数据可能有一个众数，也可能有两个或多个众数，也可能没有众数。众数主要用于测度分类数据的集中趋势，也适用于作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。一般情况下，只有在数据量较大的情况下，众数才有意义。
② 中位数
中位数是一组数据排序后处于中间位置上的变量值。它将全部数据等分成两部分，每部分包含50%的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。中位数是一个位置代表值，特点是不受极端值的影响。主要用于测度顺序数据的集中趋势，也适用于测度数值型数据的集中趋势，但不适用于分类数据。
③ 平均数
平均数也称为均值，它是由一组数据相加后除以数据个数所得的结果。平均数的主要特点是易受数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，平均数的代表性较差。平均数在统计学中具有重要的地位，它利用了全部数据信息，是集中趋势的最主要测度值，它主要适用于数值型数据，而不适用于分类数据和顺序数据。
（2）众数、中位数和平均数的联系：
众数、中位数和平均数都是用来度量数据的集中趋势的数值。从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，而平均数则是全部数据的算术平均。对于具有单峰分布的大多数数据而言，众数、中位数和平均数之间具有以下关系：
① 如果数据的分布是对称的，众数（$M_o$）、中位数（$M_e$）和平均数（$\bar x$）必定相等，即$M_o=M_e=\bar x$；
② 如果数据是左偏分布，说明数据存在极小值，必然拉动平均数向极小值一方靠，而众数和中位数由于是位置代表值，不受极值的影响，此时$\bar{x}<M_e<M_o$；
③ 如果数据是右偏分布，说明数据存在极大值，必然拉动平均数向极大值一方靠，此时$\bar{x}>M_e>M_o$。
2.简述衡量数据离散程度的统计量有哪些，并说明各自的适用范围。important
答：离散程度是在统计学上描述观测值偏离中心位置的程度，反映了所有观测值偏离中心的分布情况。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差；离散程度越小，其代表性就越好。离散程度的指标主要有：
（1）异众比率($V_r$)
异众比率是指总体中非众数频数与总体全部频数之比，即非众数组的频数占总频数的比例，用Vr表示。异众比率主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差；异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。异众比率主要适合测度分类数据的离散程度。
（2）四分位差($Q_d$)
四分位差，也称为内距或四分间距，它是上四分位数与下四分位数之差，用Qd表示。四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；其数值越大，说明中间的数据越分散。四分位差不受极值的影响。四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。
（3）极差($R$)
极差又称全距，是指一组数据的观察值中最大值与最小值之差，用R表示。用公式表示为：极差＝最大观察值－最小观察值。极差是描述数据离散程度的最简单的测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。
（4）平均差($M_d$)
平均差是指一组数据中的各数据对平均数的离差绝对值的平均数，用Md表示。平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，它能全面准确地反映一组数据的离散状况。为了避免离差之和等于零而无法计算平均差这一问题，平均差在计算时对离差取了绝对值，以离差的绝对值来表示总离差，这就给计算带来了不便，因而在实际中应用较少。
（5）方差($S^2$)与标准差($S$)
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方和的平均数，它在数学处理上是通过平方的办法消去离差的正负号，然后再进行平均。标准差为方差的平方根。方差（或标准差）能较好地反映出数据的离散程度，是实际中应用最广的离散程度测度值。
（6）离散系数
离散系数又称变异系数，它是一组数据的标准差与其相应的平均数之比。当进行两个或多个资料变异程度的比较时，如果各样本的度量单位、平均数相同，可以直接利用标准差来比较。当各样本的单位或平均数不同时，比较其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）来比较。离散系数大，说明数据的离散程度也大；离散系数小，说明数据的离散程度也小。
3.简述标准化值的意义及计算公式。
答：变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为标准分数，也称标准化值或z分数。其计算公式为：$z_i=(x_i-\bar{x})/s$式中$z_i$为变量$x_i$的标准化值，$\bar x$是该组数据均值，s为该组数据的标准差。
标准分数可以测量每个数据在该组数据中的相对位置，并可以用它来判断一组数据是否有离群数据。比如，如果某个数值的标准分数为－1.5，就知道该数值低于平均数1.5倍的标准差。在对多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常需要对各变量进行标准化处理。实际上，z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数据分布的形状，而只是将该组数据平均数变为0，标准差变为1。